Sabtu, 09 Januari 2010

Cara gampang mengalikan suku banyak

Filed under: 1). Materi Penting, 2. MATEMATIKA — matematikadasar @ 21:32
Tags: , ,
Mengalikan suku banyak (polinom) memang mudah, namun kadang merepotkan, padahal konsep yang dipakai hanya distributif perkalian.
Ambil contoh sederhana:
suku-banyak-soal1
kebanyakan siswa bisa, namun sering ngerasa ribet dengan variabel x nya
Sekarang saya akan tunjukan langkah sederhana, siap ?


Cara :
  1. Ambil hanya koefisiennya saja (tanpa x)
  2. jika tidak ada variabel x untuk pangkat tertentu, tuliskan 0
  3. Lakukan langkah, mirip dengan perkalian biasa yang sering anda lakukan
Untuk jelasnya, kita kerjakan contoh soal di atas :

suku-banyak-proses
gimana gampangkan?, tinggal kita berikan sentuhan akhir, yaitu : menambahkan variabel x dibelakang angka-angka tadi, dan sesuaikan pangkatnya (mulai dari ujung kanan tanpa x, lalu x pangkat satu, x pangkat dua dst).
Sehingga hasil akhir kita dapat :
-3x5 + 12x4 + 8x3 -9x2 + 2
NB:

teknik ini baru sangat kerasa manfaatnya, kalo suku banyak yang kita kalikan sangat panjang. selamat mencoba
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

BILANGAN BERDERET

BILANGAN BERDERET

Filed under: 2). Olimpiade SMA, 2. MATEMATIKA — matematikadasar @ 09:18
Tags: , ,
Dalam rubrik pembahasan soal olimpiade kali ini, kita akan mencoba belajar tentang : menyelesaikan soal bilangan “ yang berderet “.
Kenapa judulnya bukan deret bilangan?
Karena tipe soal yang akan kita pelajari , bisa disederhanakan dan didekati dengan cara manipulasi bentuk (gak pake rumus deret).
Tipe soal macam ini sering kali muncul (khususnya pada tingkat seleksi kota), dengan tujuan (1) menguji kemampuan dalam mengenali pola dan (2) kemampuan memanipulasi bentuk aljabar. Yang keduanya merupakan syarat mendasar dalam mengerjakan soal olimpiade tingkat lanjut. Setidaknya kita akan mempelajari 2 bentuk dulu:
  1. yang bisa disederhanakan dengan menyederhanakan pecahan
  2. menggunakan bentuk identitas \frac {1}{x.(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} (bentuk yang penyebutnya merupakan perkalian bilangan berurut)
TIPE I:
Contoh 1:
Carilah nilai : \left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{5}} \right)\left( {1 - \frac{1}{6}} \right)\,...\,\left( {1 - \frac{1}{{30}}} \right)
Jawab :
Soal tipe ini biasanya lebih sederhana jika kita menyederhanakan bilangan-bilangan dalam tanda kurung.
Dan biasanya banyak suku akan saling menghilangkan.
Setelah disamakan penyebutnya, menjadi :
\left( {\frac{3}{4}} \right)\left( {\frac{4}{5}} \right)\left( {\frac{5}{6}} \right)\,...........\,\left( {\frac{{29}}{{30}}} \right)
Perhatikan bahwa penyebut pada suku ke-1 “dinetralisir” oleh pembilang pada suku berikutnya (menghasilkan angka 1— sebagai unsur identitas perkalian) , dan ternyata hal ini berlaku juga pada suku-suku yang lain:
=\left(3\right)\left( {\frac{4}{4}} \right)\left( {\frac{5}{5}} \right)\,...........\,\left( {\frac{29}{29}} \right) \left( \frac{1}{30} \right)
= \frac{3}{{30}} = \frac{1}{{10}}
Contoh 2: (Seleksi tingkat Kota 2003)
Berapakah hasil perkalian : \left( {1 - \frac{1}{{2^2 }}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{3^2 }}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{4^2 }}} \right)\,...\,\left( {1 - \frac{1}{{2003^2 }}}\right) ?
Jawab :
\left( {\frac{{2^2 - 1}}{{2^2 }}} \right)\left( {\frac{{3^2 - 1}}{{3^2 }}} \right)\left( {\frac{{4^2 - 1}}{{4^2 }}} \right)\,...\,\left( {\frac{{2003^2 - 1}}{{2003^2 }}} \right)
\frac{(2 - 1)(2 + 1)}{2.2}\rm{x}\frac{(3 - 1)(3 +1)}{3.3}\rm{x}..\rm{x}\frac{(2003 - 1)(2003 +1)}{2003^2 }
\frac{1\,.\,3}{2.2}\rm{x}\frac{2.\,4}{3.3}\rm{x}...\rm{x}\frac{2002\,\,\,2004}{2003.2003}
\frac{{1\,}}{2}\left( {\frac{3}{2}x\frac{2}{3}} \right)\left( {\frac{4}{3}x\frac{3}{4}} \right)\,\rm{x}...\rm{x}\left({\frac{{2003}}{{2002}}x\frac{{2002\,\,}}{{2003}}}\right)\rm{x}\frac{{2004}}{{2003}}
\frac{1}{2}\rm{x}\frac{2004}{2003} = \frac{2004}{4006}
Tipe II
Contoh 3: (Seleksi tingkat Kota 2004)
Nilai dari \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + ..... + \frac{1}{{10100}} adalah….
Jawab :
Lihat penyebut, semuanya merupakan perkalian dari dua bilangan berurut.
Misal kita punya bilangan \frac{1}{2}-\frac{1}{3}. Maka bisa kita sederhanakan menjadi \frac{1}{2.3}. Atau sebaliknya, jika kita punya bentuk \frac{1}{2.3}, bisa diubah menjadi \frac{1}{2}-\frac{1}{3}
Kembali ke soal.
Kita bisa mengubah bentuk soal menjadi :
\frac{1}{2} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ..... + \frac{1}{{100.101}}
Pecah menjadi pengurangan dua pecahan
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +....+ \frac{1}{100} - \frac{1}{101}
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \left( { - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \right) + \left( { - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + ... + \left( { - \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{100}}} \right) - \frac{1}{{101}} = \frac{{100}}{{101}}
Sekarang mari kita terapkan dua pengetahuan kita, kedalam soal yang lebih kompleks
Contoh 4: Hitunglah nilai dari :
\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\dots +\sqrt{1+\frac{1}{2003^2}+\frac{1}{2004^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2004^2}+\frac{1}{2005^2}}
Jawab: Menghadapi soal seperti ini , kita mesti seneng dong
lho?
Ya iyalah, karena kita gak mungkin menjumlahkannya satu persatu.
So what ?,
itu adalah kabar baik pertama : soal ini pasti punya pola !!!! dan sebenarnya memiliki bentuk yang sederhana.
Ada lagi yang mampir di kepala sebagai asumsi awal?
Menghitung bentuk pecahan dalam tanda akar sangat sulit, so kemungkinan besar bentuk itu bisa memunculkan bentuk kuadrat sehingga menetralisir bentuk akar.
Masa sih?
Coba aja dulu, namanya juga asumsi :)
Proses pencarian pola:
Kita tinjau polanya: \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}
Penyebut merupakan kuadrat dari dua bilangan berurutan, kita misalkan sebagai variable x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}}
Dari contoh 3, kita sudah tahu bentuk identitas dari pengurangan pecahan yang penyebutnya berselih satu. So…kita coba munculkan bentuk itu
\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)^2+2. \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)}
Karena muncul dua bentuk pengurangan sebanyak dua kali, kita misalkan saja menjadi P supaya simple
=\,\,\sqrt{1+P^2+2P}
=\,\,\sqrt{(P+1)^2}
=\,\,|P+1|, karena bilangan dalam tanda mutlak postif, maka tanda mutlak bisa hilang.
=\,\,P+1
=\,\,\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+1
Sehingga soal bisa kita sederhanakan :
=\,\,\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\dots +\sqrt{1+\frac{1}{2003^2}+\frac{1}{2004^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2004^2}+\frac{1}{2005^2}}
=\,\, \left( 1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+ \left( 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots \left( 1+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}\right)+\left( 1+\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}\right)
Ternyata banyak suku yang saling menghilangkan. tinggal dihitung aja yang tersisa.
banyak angka 1 ada 2005 (pada suku pertama ada 2 buah, sedangkan pada suku lain masing-masing 1 buah)
=\,\,2005-\frac{1}{2005}
kalo mau disederhanakan, boleh.
=\,\,2004+1-\frac{1}{2005}
=\,\,2004+\frac{2004}{2005} =2004\frac{2004}{2005}
gimana gampangkan?
Berlatih yuk Soal 1 : (Olimpiade tingkat Kota 2003-2)
Misalkan t_n = \frac{{n(n + 1)}}{2}. Tentukan jumlah dari \frac{1}{{t_1 }} + \frac{1}{{t_2 }} + ... + \frac{1}{{t_{2002} }}
Kunci: \frac{2004}{2003}
Soal 2: (Olimpiade tingkat Kota 2003)
Misalkan a = \frac{{1^2 }}{1} + \frac{{2^2 }}{3} + \frac{{3^2 }}{5} + ... + \frac{{1001^2 }}{{2001}} , dan b=\frac{{1^2 }}{3} + \frac{{2^2 }}{5} + \frac{{3^2 }}{7} + ... + \frac{{1001^2 }}{{2003}} Tentukan bilangan bulat yang paling dekat ke (a - b)
Kunci : 501
Soal 3:
Hitunglah : \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{7}{{16}} + ...
kunci : \frac{3}{2}
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Dari mana negatif x negatif = positif

Dari mana negatif x negatif = positif

Filed under: 1). Materi Penting, 2. MATEMATIKA — matematikadasar @ 01:29
Tags: ,
Ketika mengajarkan matematika pada siswa, seringkali pertanyaan-pertanyaan seperti di bawah ini muncul.
1) Perkalian adalah penjumlahan berulang suatu bilangan sebanyak pengalinya, dalam bahasa simbol di buku SMA ditulis: a x b = b + b + b + b +…+b (dengan b sebanyak a buah)

Contoh : 3 x 4 = 4 + 4 + 4 atau 3 x 4 = 3 + 3 + 3 +3 (karena 3 x 4 = 4 x3)
namun bagaimana kita menjelaskan \sqrt{2} x \sqrt{7} , dengan menggunakan pengertian penjumlahan berulang ?.
2) Dari mana kita mendapatkan atau setidaknya menunjukan bahwa (-) x (-) = (+) ?
Pertanyaan sederhana di atas, sering mengusik para siswa (kalau anda mulai memikirkannya, berarti pertanyaan tersebut juga mulai mengusik anda :D ).
Pembahasan :


1) Tidak banyak yang bisa saya sampaikan mengenai soal (1), yang saya pahami adalah bahwa operasi perkalian memang ada hubungannya dengan penjumlahan berulang, namun kedua operasi tersebut pada hakikat independent (berdiri sendiri)
2) Jika menggunakan pengertian penjumlahan berulang, membahas bilangan yang berbentuk negatif x negatif, maka akan pusing sendiri, ambil contoh :
-2 x -3 , berarti kita menjumlahkan -3 sebanyak -2 buah (nulisnya gimana? :D ), lalu kita mengatakan bahwa itu sama aja dengan 2 x 3. tapi siswa akan bertanya, dari mana kok negatifnya bisa ilang ?
Ada cara lain untuk menunjukan hal tsb, yaitu dengan menggunakan aksioma dasar yang berlaku pada bilangan riil.
Aksioma dasar bil. Riil menyebutkan bahwa ada invers dalam penjumlahan yang menyebabkan suatu bilangan dijumlahkan dengan iversnya = 0. Dalam bahasa simbol kita tulis b + (-b) = 0.
Sekarang mari kita bahas:
b + (-b) = 0
-a (b+(-b)) = -a (0) ……kalikan kedua ruas dengan (-a)
-a x b + (- a x -b) = 0…. Gunakan hukum distributive perkalian
-(a x b) + (- a x – b) = 0
Kita berhenti dulu disini, lihat baris terakhir, menurut aksioma, maka pasti (- a x – b) merupakan invers dari -(a x b), karena ketika keduanya dijumlahkan, menghasilkan 0.
Dilain pihak, invers dari –(axb) yang kita tahu adalah (axb).
Menurut aksioma lagi, bahwa invers suatu bilangan adalah unik (tunggal), maka kita bisa simpulkan bahwa:
(- a x – b) = a x b.
Dengan kata lain : negatif x negatif = positif.
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)