pendidikan: Pembahasan soal : hakikat akar-akar persamaan

Pembahasan soal : hakikat akar-akar persamaan

Filed under: 1). Materi Penting, 2). Olimpiade SMA, 2. MATEMATIKA — matematikadasar @ 16:24
Tags: akar persamaan, matematika, pembahasan soal olimpiade, persamaan kuadrat

Dalam rubrik : pembahasan soal olimpiade matematika SMA kali ini, kita akan coba simak beberapa variasi soal tentang akar-akar persamaan. Namun, saya menemukan bahwa variasinya sangat banyak sekali. Dari yang sederhana sampe yang sulit, banyak soal jenis ini yang bikin aku klenger, bahkan sampe sekarang belum bisa-bisa (buka rahasia dikit

)
Terlebih lagi, beberapa soal mengenai akar ini, kadang dikaitkan dengan pokok bahasan lain, seperti: polinom, teori bilangan dll.
Mengingat hal itu, maka bahasan tentang akar ini mungkin akan bersambung terus, entah sampai berapa edisi (itu juga kalo aku sempet

).
Mari kita cicipi hidangan pembukanya. Tapi materi dulu dikit ya?
A. Misal ada pernyataan yang sudah umum kita dengar :

“ diketahui a dan b adalah akar-akar dari $x^2+2x+1=0$ ”,
lalu apasih akar itu?
Sederhananya gini, jika akar itu kita masukan ke persamaan untuk menggantikan x, hukumnya halal ( karena memang memenuhi), so…kita bisa mengganti x dengan akar-akat tersebut, kayak gini :
$a^2+2a+1=0$ dan $b^2+2b+1=0$

B. Di kelas X, kita sudah belajar mengenai jumlah dan hasil kali akar.

jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar dari $ax^2 + bx + c = 0$ , maka hubungan antar akar :
$\alpha+\beta= \frac{-b}{a}$ dan $\alpha.\beta= \frac{c}{a}$

Nah dengan dua pengetahuan sederhana seperti ini, ternyata sangat membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal.

Contoh 1:
Diketahui a dan b adalah akar-akar dari $x^2-x+1=0$ , maka tentukan nilai dari:
$\left( \frac{a-1}{b^2+1}\right).\left(\frac{b-1}{a^2+1} \right)$ = …

Jawab:
Soal ini bisa didekati dengan berbagai cara, namun sekarang kita gunakan apa yang sedang kita pelajari.
Karena a merupakan akar-akar, maka kita bisa mendapatkan :

$a^2-a+1=0$ .

dari sini kita bisa memperoleh bentuk:

$a^2 = a - 1$ dan

$a^2 + 1 = a$

(senada dengan b, karena dia juga merupakan akar dari persamaan). kita peroleh :

$b^2-b+1=0$

$b^2 = b - 1$ dan

$b^2 + 1 = b$

Sekarang, kita masuk ke pembahasan soal:
$\left( \frac{a-1}{b^2+1}\right).\left(\frac{b-1}{a^2+1} \right)$
= $\left( \frac{a^2}{b}\right).\left(\frac{b^2}{a} \right)$ ….cocokan dengan bentuk-bentuk diatas
= $\left( \frac{a^2}{b}\right).\left(\frac{b^2}{a} \right)$
= $a.b$ …merupakan perkalian akar, sehingga:
= $\frac{1}{1}=1$
Gimana gampangkan?
Contoh 2:
Jika a dan b adalah akar-akar dari $x^2+x+1=0$ , maka tentukan nilai dari $a^{1002}+b^{1002}$

Jawab:
Nah, mulai dech rada-rada ribet. tenang, sebenarnya sama aja dengan contoh 1, kita bisa mendapatkan :
$a^2 = -a-1$ , dan $a^2+a = -1$
Mari kita olah dulu, untuk menghasilkan bentuk pangkat 1002
$a^2 = -a-1$
Coba kita kalikan dengan a
$a^3 = -a^2-a$
$a^3 = -(a^2+a)$ …cocok dengan bentuk yang kita olah di awal $a^2+a=-1$
$a^3 = 1$
Karena 1002= 3 x 334, maka:
$a^{1002} = (a^3)^{334} =(1)^{334}=1$
karena a dan b simetris, maka nilai : $b^{1002} = 1$ , sehingga:
$a^{1002}+b^{1002} = 1+1=2$

Mari berlatih:

Persamaan $x^3-x+1 = 0$ , memiliki akar-akar a,b dan c.
tentukanlah nilai $a^8+b^8+c^8$
Jika $a$ , dan $b$ , adalah akar-akar persamaan dari $x^2-2x-1=0$ , maka carilah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $a^2+2$ dan $b^2+2$ .
Satu-satunya akar riil dari $x^3 -1999x^2+x-1999=0$ adalah 1999, berapakah satu-satunya akar riil dari $(x-1)^3-1999(x-1)^2+(x-1)-1999=0$ ?
Jika $\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1$ . buktikan x+y=0
Carilah akar-akar riil dari $x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=3$
jika $a,b$ dan $c$ adalah akar-akar dari : $x^3-x-1=0$ , carilah nilai dari $\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}$
Tentukan akar-akar riil yang memenuhi: $x = \left( x-\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{2}}+\left( 1-\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{2}}$