pendidikan: BILANGAN BERDERET

BILANGAN BERDERET

Filed under: 2). Olimpiade SMA, 2. MATEMATIKA — matematikadasar @ 09:18
Tags: matematika, olimpiade matematika, soal bilangan berderet

Dalam rubrik pembahasan soal olimpiade kali ini, kita akan mencoba belajar tentang : menyelesaikan soal bilangan “ yang berderet “.
Kenapa judulnya bukan deret bilangan?
Karena tipe soal yang akan kita pelajari , bisa disederhanakan dan didekati dengan cara manipulasi bentuk (gak pake rumus deret).
Tipe soal macam ini sering kali muncul (khususnya pada tingkat seleksi kota), dengan tujuan (1) menguji kemampuan dalam mengenali pola dan (2) kemampuan memanipulasi bentuk aljabar. Yang keduanya merupakan syarat mendasar dalam mengerjakan soal olimpiade tingkat lanjut. Setidaknya kita akan mempelajari 2 bentuk dulu:

yang bisa disederhanakan dengan menyederhanakan pecahan
menggunakan bentuk identitas $\frac {1}{x.(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ (bentuk yang penyebutnya merupakan perkalian bilangan berurut)

TIPE I:
Contoh 1:
Carilah nilai : $\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{5}} \right)\left( {1 - \frac{1}{6}} \right)\,...\,\left( {1 - \frac{1}{{30}}} \right)$

Jawab :
Soal tipe ini biasanya lebih sederhana jika kita menyederhanakan bilangan-bilangan dalam tanda kurung.
Dan biasanya banyak suku akan saling menghilangkan.
Setelah disamakan penyebutnya, menjadi :
$\left( {\frac{3}{4}} \right)\left( {\frac{4}{5}} \right)\left( {\frac{5}{6}} \right)\,...........\,\left( {\frac{{29}}{{30}}} \right)$
Perhatikan bahwa penyebut pada suku ke-1 “dinetralisir” oleh pembilang pada suku berikutnya (menghasilkan angka 1— sebagai unsur identitas perkalian) , dan ternyata hal ini berlaku juga pada suku-suku yang lain:
= $\left(3\right)\left( {\frac{4}{4}} \right)\left( {\frac{5}{5}} \right)\,...........\,\left( {\frac{29}{29}} \right) \left( \frac{1}{30} \right)$
= $\frac{3}{{30}} = \frac{1}{{10}}$

Contoh 2: (Seleksi tingkat Kota 2003)
Berapakah hasil perkalian : $\left( {1 - \frac{1}{{2^2 }}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{3^2 }}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{4^2 }}} \right)\,...\,\left( {1 - \frac{1}{{2003^2 }}}\right)$ ?

Jawab :

$\left( {\frac{{2^2 - 1}}{{2^2 }}} \right)\left( {\frac{{3^2 - 1}}{{3^2 }}} \right)\left( {\frac{{4^2 - 1}}{{4^2 }}} \right)\,...\,\left( {\frac{{2003^2 - 1}}{{2003^2 }}} \right)$
$\frac{(2 - 1)(2 + 1)}{2.2}\rm{x}\frac{(3 - 1)(3 +1)}{3.3}\rm{x}..\rm{x}\frac{(2003 - 1)(2003 +1)}{2003^2 }$
$\frac{1\,.\,3}{2.2}\rm{x}\frac{2.\,4}{3.3}\rm{x}...\rm{x}\frac{2002\,\,\,2004}{2003.2003}$
$\frac{{1\,}}{2}\left( {\frac{3}{2}x\frac{2}{3}} \right)\left( {\frac{4}{3}x\frac{3}{4}} \right)\,\rm{x}...\rm{x}\left({\frac{{2003}}{{2002}}x\frac{{2002\,\,}}{{2003}}}\right)\rm{x}\frac{{2004}}{{2003}}$
$\frac{1}{2}\rm{x}\frac{2004}{2003} = \frac{2004}{4006}$

Tipe II
Contoh 3: (Seleksi tingkat Kota 2004)

Nilai dari $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + ..... + \frac{1}{{10100}}$ adalah….
Jawab :
Lihat penyebut, semuanya merupakan perkalian dari dua bilangan berurut.
Misal kita punya bilangan $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ . Maka bisa kita sederhanakan menjadi $\frac{1}{2.3}$ . Atau sebaliknya, jika kita punya bentuk $\frac{1}{2.3}$ , bisa diubah menjadi $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
Kembali ke soal.
Kita bisa mengubah bentuk soal menjadi :
$\frac{1}{2} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ..... + \frac{1}{{100.101}}$
Pecah menjadi pengurangan dua pecahan
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +....+ \frac{1}{100} - \frac{1}{101}$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \left( { - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \right) + \left( { - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + ... + \left( { - \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{100}}} \right) - \frac{1}{{101}}$ = $\frac{{100}}{{101}}$

Sekarang mari kita terapkan dua pengetahuan kita, kedalam soal yang lebih kompleks
Contoh 4: Hitunglah nilai dari :
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\dots +\sqrt{1+\frac{1}{2003^2}+\frac{1}{2004^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2004^2}+\frac{1}{2005^2}}$

Jawab: Menghadapi soal seperti ini , kita mesti seneng dong
lho?
Ya iyalah, karena kita gak mungkin menjumlahkannya satu persatu.
So what ?,
itu adalah kabar baik pertama : soal ini pasti punya pola !!!! dan sebenarnya memiliki bentuk yang sederhana.
Ada lagi yang mampir di kepala sebagai asumsi awal?
Menghitung bentuk pecahan dalam tanda akar sangat sulit, so kemungkinan besar bentuk itu bisa memunculkan bentuk kuadrat sehingga menetralisir bentuk akar.
Masa sih?
Coba aja dulu, namanya juga asumsi
Proses pencarian pola:
Kita tinjau polanya: $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}$
Penyebut merupakan kuadrat dari dua bilangan berurutan, kita misalkan sebagai variable $x$ $\sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}}$
Dari contoh 3, kita sudah tahu bentuk identitas dari pengurangan pecahan yang penyebutnya berselih satu. So…kita coba munculkan bentuk itu
$\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)^2+2. \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)}$
Karena muncul dua bentuk pengurangan sebanyak dua kali, kita misalkan saja menjadi $P$ supaya simple
$=\,\,\sqrt{1+P^2+2P}$
$=\,\,\sqrt{(P+1)^2}$
$=\,\,|P+1|$ , karena bilangan dalam tanda mutlak postif, maka tanda mutlak bisa hilang.
$=\,\,P+1$
$=\,\,\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+1$
Sehingga soal bisa kita sederhanakan :
$=\,\,\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\dots +\sqrt{1+\frac{1}{2003^2}+\frac{1}{2004^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2004^2}+\frac{1}{2005^2}}$
$=\,\, \left( 1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+ \left( 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots \left( 1+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}\right)+\left( 1+\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}\right)$
Ternyata banyak suku yang saling menghilangkan. tinggal dihitung aja yang tersisa.
banyak angka 1 ada 2005 (pada suku pertama ada 2 buah, sedangkan pada suku lain masing-masing 1 buah)
$=\,\,2005-\frac{1}{2005}$
kalo mau disederhanakan, boleh.
$=\,\,2004+1-\frac{1}{2005}$
$=\,\,2004+\frac{2004}{2005} =2004\frac{2004}{2005}$
gimana gampangkan?

Berlatih yuk Soal 1 : (Olimpiade tingkat Kota 2003-2)

Misalkan $t_n = \frac{{n(n + 1)}}{2}$ . Tentukan jumlah dari $\frac{1}{{t_1 }} + \frac{1}{{t_2 }} + ... + \frac{1}{{t_{2002} }}$
Kunci: $\frac{2004}{2003}$

Soal 2: (Olimpiade tingkat Kota 2003)

Misalkan $a = \frac{{1^2 }}{1} + \frac{{2^2 }}{3} + \frac{{3^2 }}{5} + ... + \frac{{1001^2 }}{{2001}}$ , dan $b=\frac{{1^2 }}{3} + \frac{{2^2 }}{5} + \frac{{3^2 }}{7} + ... + \frac{{1001^2 }}{{2003}}$ Tentukan bilangan bulat yang paling dekat ke $(a - b)$
Kunci : 501